CAPÍTULO 1 : Dados – variáveis - Amostra
1.1 Introdução
Considere as
seguintes notícias de jornais e revistas :
- Segundo
dados da Bolsa paulista, os estrangeiros representam 18,4 % dos US$ 8
bilhões que foram movimentados pelo mercado acionário em janeiro. (Folha
de S.Paulo, 15 dez.1999)
- Somente
no mês passado, o IBOVESPA, o principal índice da bolsa paulista, teve uma
valorização de 17,76 %, saltando de 11.762 pontos para 13.778 pontos.
- O
Instituto Nacional de estudos e Pesquisas Educacionais fez um levantamento
com 429.775 jovens que terminaram o 2º grau no ano passado e descobriu que
apenas 31,5 % deles pretendem fazer o curso superior. Hoje somente 11 %
dos brasileiros entre 18 e 24 anos fazem faculdade. (Veja, 6 maio 1998).
Diariamente,
somos expostos a uma grande quantidade de informações numéricas, semelhantes às
relatadas. Assim, necessitamos de conhecimentos e capacitações para compreender
informações numéricas produzidas por outros, bem como nos habilitarmos a
construí-las. Os procedimentos, técnicos e métodos estatísticos são
fundamentais para auxílio à execução dessas tarefas Sinteticamente, estatística
é a ciência dos dados.
1.2
Estatística Descritiva
A maioria das informações estatísticas nos
jornais, relatórios e outras publicações consiste de dados reunidos e
apresentados de forma clara para que o leitor possa entender. Tais sumários que
podem ser tabulare ou numéricos, são conhecidos como estatística descritiva
1.3
Definição de Estatística
É
extremamente difícil definir estatística, e tendo em vista que o seu domínios é
muito amplo, o número de definições que encontramos é extremamente grande.
Uma
definição de dicionário afirma que estatística são fatos numéricos coletados
sistematicamente, ordenados e estudados.
1.4
Tipos de Dados
Os dados vêm em diferentes formas,
cada uma das quais é tratada de maneira um pouco diferente na conversão em
informações.
Classificação dos dados :
a)
Qualitativos
: Referem-se às observações não numéricas e são classificadas em nominais e
ordinais.
Dados Nominais: São dados que podem ser separados em
categorias chamadas de não mensuráveis,
por exemplo, a cor dos olhos, tipo de acomodação, marcas de carro, as cores dos
sapatos calçados por 10 alunos em uma palestra, e assim por diante.
Dados
Ordinais
: Esses dados são equivalentes aos nominais, porém incluindo uma ordem , uma
hierarquia. Por exemplo, o cargo dos funcionários registrado no cadastro da
empresa : presidente, diretor, gerente etc, a resposta de um questionário de
pesquisa onde há uma escala para escolher: bom, regular, ruim.
b)
Quantitativos : São
dados que são medidos, contados ou quantificados de alguma maneira. Podem ser
de dois tipos : discretos e contínuos.
Dados
Discretos
: São dados que referem-se aos valores numéricos que assumem somente números
inteiros positivos, por exemplo, quantidade de vendas diárias de uma empresa;
número de filhos de uma família; número de jóias usadas por 10 alunos, número
de acidentes nas estradas durante o carnaval, etc.
Dados
Contínuos : São
dados numéricos que assumem qualquer valor dentro de um intervalo contínuo.
1.5
Variável
È
uma característica de interesse para os elementos. Considere a seguinte tabela
Conjunto de dados contendo informações
financeiras referentes a 5 empresas
Empresa
|
Bolsa de Valores
|
Símbolo do Painel eletrônico
|
Vendas
anuais (US$ milhões)
|
Preço
da ação (US$)
|
Relação
preço/ganho
|
Award Software
|
OTC
|
AWRD
|
15,7
|
11,500
|
22,5
|
Hudson General
|
AMEX
|
HGC
|
30,2
|
39,750
|
11,2
|
ICU Medical
|
OTC
|
ICUI
|
26,5
|
8,500
|
15,7
|
Hot Topic
|
NYSE
|
HOTT
|
48,3
|
15,750
|
27,2
|
OrCad
|
OTC
|
OCAD
|
21,9
|
11,375
|
18,3
|
Na
tabela acima temos cinco variáves : Bolsa de Valores, Símbolo do painel
eletrônico, Vendas anuais, preço da ação e relação preço/ganho.
1.6
População e Amostra
Em
muitas situações, há procura de dados
para um grande número de elementos (indivíduos, empresas, eleitores,
famílias, produtos, clientes, etc.) Devido ao tempo, ao custo e a outros
fatores, os dados são coletados a partir d uma pequena porção do grupo. O grupo
maior de elementos em um determinado estudo é chamado de população, e o grupo
menor é chamado de amostra
Formalmente, usaremos as seguintes
definições:
População é o conjunto de
todos os elementos de interesse em um determinado estudo
Amostra é um subconjunto da
população.
Exercícios
:
1- Declare se cada uma das seguintes
variáveis é qualitativa ou quantitativa
?
a)
Idade
b)
Gênero
c)
Classe social
d)
Marca de Automóvel
e)
Número de pessoas que são favoráveis à pena de morte.
2-Declare se cada uma das seguintes variáveis
é qualitativa ou quantitativa :
a)
Vendas anuais
b)
Tamanho dos refrigerantes (pequeno, médio, grande)
c)
Classificação dos empregados (GS1 até GS18)
d)
Ganhos por ação
e)
Método de pagamento (à vista, com cheque, com cartão de crédito)
3-Um levantamento de um jornal argüiu 2.013
adultos: “Você está satisfeito com a situação da economia do Brasil hoje ?”. As
categorias das respostas eram insatisfeito, satisfeito e indeciso
a)
Qual foi o tamanho da amostra para essa pesquisa ?
b) Os dados coletados
eram qualitativos ou quantitativos ?
c) Para um resumo dos
dados para esta questão, faria mais sentido usar as médias ou as porcentagem ?
d) Dos que
responderam, 28 % disseram que estavam insatisfeitos com a situação da economia
do Brasil. Quantos indivíduos forneceram esta resposta ?
4-O seguinte conjunto de dados fornece um
quadro do desempenho financeiro de uma determinada empresa – dezembro/2010
2006
|
2007
|
2008
|
2009
|
|
Ganho por ação
|
$2,78
|
$2,13
|
$3,41
|
$3,83
|
Renda(milhões)
|
$11,87
|
$12,57
|
$13,43
|
$14,92
|
Renda líquida(milhões)
|
$1,51
|
$1,17
|
$1,89
|
$2,12
|
Valor Nominal por ação
|
$14,35
|
$10,98
|
$12,67
|
$13,98
|
a)
Quantas
variáveis existem na tabela ?
b)
Os
dados são qualitativos ou quantitativos ?
5-Classifique as variáveis em qualitativas ou
quantitativas (continuas ou discretas):
a)
População
: alunos de uma escola
Variável : cor dos
cabelos -...
b)
População
: Casais residentes em uma cidade
Variável : número de
filhos - ...
c)
População
: as jogadas de um dado
Variável : o ponto
obtido em cada jogada - ...
d)
População
: peças produzidas por certa máquina
Variável : número de
peças produzidas por hora - ...
e)
População
: peças produzidas por certa máquina.
Variável : diâmetro
externo - ...
CAPÍTULO 2 – Séries
Estatísticas
- Tabelas
Tabela é um quadro
que resume um conjunto de observações.
Um dos objetivos da
Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir,
para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E
isto ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e
gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das
variáveis em estudo
Uma tabela compõe-se
de :
Um corpo : conjunto de linhas e colunas
que contém informações sobre a variável em estudo.
Um cabeçalho : parte superior da tabela
que especifica o conteúdo das colunas.
Uma coluna indicadora : parte da tabela que
especifica o conteúdo das linhas.
Linhas : são as retas imaginárias que facilitam a
leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos
com a coluna.
Um título : conjunto de informações, as
mais completas possíveis, respondendo às perguntas : O QUÊ ? QUANDO? ONDE ?, e
localizado no topo da tabela.
Matrículas – Fafipa – 2007/2011
Anos
|
Matrículas
|
2007
|
1.680
|
2008
|
1.760
|
2009
|
1.938
|
2010
|
1.850
|
2011
|
1,780
|
2.
Séries Estatísticas
Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um
conjunto de dados estatísticos, em função da época, do local ou da espécie.
Daí,
podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três
elementos ou fatores : o tempo, o espaço e a espécie.
Conforme
varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em histórica, geográfica e específica.
2.1
Série Histórica : Uma
série é histórica quando varia o tempo permanecendo fixo o local e a espécie.
Exemplo :
Matrículas –
Fafipa – 2007-2011
Anos
|
Matrículas
|
2007
|
1.680
|
2008
|
1.760
|
2009
|
1.938
|
2010
|
1.850
|
2011
|
1,780
|
2.2
Série Geográfica
: Uma série é geográfica quando varia o local permanecendo fixo o tempo e a
espécie.
Exemplo :
Matrículas – Fafipa
– 2010
Por municípios
Municípios
|
Matrículas
|
Paranavaí
|
680
|
Cianorte
|
120
|
Loanda
|
185
|
Nova Esperança
|
90
|
Colorado
|
70
|
Total
|
1145
|
Fonte : Secretaria
2.3
Série Específica
: Uma série é específica quando varia a espécie permanecendo fixo o local e o
tempo.
Exemplo : Matrículas – Fafipa – 2006
Por curso
Cursos
|
Matriculas
|
Administração
|
420
|
C. Contábeis
|
380
|
Enfermagem
|
160
|
Pedagogia
|
220
|
Ed. Física
|
120
|
Total
|
1.300
|
Fonte
: Secretaria.
2.4
Séries conjugadas : Muitas
vezes temos necessidade de apresentar, em uma única tabela a variação de
valores de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou mais
séries.
Exemplo :
Estimativa da renda interna segundo os ramos
de atividade.
Renda Interna (R$ 1.000.000)
|
|||
Ramo de Atividade
|
2009
|
2009
|
2010
|
Agricultura
|
421.933
|
708.848
|
1.446.050
|
Indústria
|
1.046.289
|
1.726.161
|
3.778.060
|
Serviços
|
1.662.867
|
2.886.801
|
5.880.469
|
Total
|
1.131.089
|
5.321.810
|
11.104.579
|
Fonte : Dados fictícios.
CAPÍTULO
3 – Representação Gráfica
O
gráfico estatístico nada mais é que outra forma de apresentação dos dados
estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em
geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os
gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
A
representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos
fundamentais, para ser realmente útil :
Simplicidade : o gráfico deve ser
destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços
desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros.
Clareza : o gráfico deve possibilitar
uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo.
Veracidade : o gráfico deve expressar a
verdade sobre o fenômeno em estudo.
3.1 –
Gráficos
Gráfico
de Colunas ou de Barras : Este é o tipo mais normalmente utilizado de representação
gráfica. Cada categoria é representada por uma barra retangular distinta, sendo
a freqüência indicada pelo comprimento/altura da barra.
Esse
gráfico pode ser utilizado para todos os tipos de dados, exceto dados contínuos
e dados ordinais na forma de série histórica.
Exemplo :
Produção de Auto-Veículos
São Paulo – 2006-2011
Anos
|
Quantidade (1.000 unid)
|
2006
|
919
|
2007
|
1.063
|
2008
|
1.128
|
2009
|
1.165
|
2010
|
781
|
2011
|
859
|
Fonte: dados hipotéticos.
Gráfico de Setores : Esse gráfico é
construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar
a participação de um dado no total.
O total é representado pelo círculo,
que fica dividido, em tantos quanto são as partes.
Obtemos cada setor por meio de uma
regra de três simples e direta.
De
maneira similar a um gráfico de barra/coluna, o gráfico de setores pode ser
utilizado para a maioria dos tipos de dados. Entretanto, como um gráfico de
setores é utilizado para mostrar que
proporção do todo é tomada por uma categoria, ele somente será útil se o número
de categorias for pequeno e cada uma for uma proporção significativa do total
de dados.
Exemplo : Rebanhos – Paraná – 2008
Espécie
|
Qde ( 1.000 cabeças)
|
Bovinos
|
119
|
Suínos
|
34
|
Ouvinos
|
18
|
Caprinos
|
8
|
Total
|
179
|
Fonte :
Fazer a regra de três para encontrar os
graus.
Gráfico em Linha ou em Curva
Os gráficos de linhas são bastante utilizados na
identificação de tendências de aumento ou diminuição dos valores numéricos de
uma dada informação.
É um gráfico que é normalmente
utilizado para um propósito específico, isto é, apresentar dados de uma série
temporal.
Exemplo
: Comércio Exterior
Brasil – 2000-20109
Anos
|
Exportação(1.000
t)
|
2000
|
45.694
|
2001
|
64.059
|
2002
|
78.462
|
2003
|
92.985
|
2004
|
89.689
|
2005
|
81.689
|
2006
|
87.517
|
2007
|
98.010
|
2008
|
109.100
|
2009
|
123.994
|
EXERCÍCIOS:
1.Procure
em jornais e revistas, e copie exemplos de séries estatísticas,
classificando-as.
2.Representar
as seguintes tabela usando um gráfico.
2.1
Automóveis nacionais mais 2.2
Comércio Exterior - Brasil
Vendidos – Jan-Ago – 2000 2000-2009
Veículos
|
Qde
vendidas
|
Anos
|
Importação(1000
t)
|
||
Gol
|
166.158
|
2000
|
38.487
|
||
Uno
|
58.556
|
2001
|
49.769
|
||
Palio
|
86.776
|
2002
|
54.898
|
||
Astra
|
22.006
|
2003
|
53.081
|
||
Corsa
|
66.065
|
2004
|
61.652
|
||
Vectra
|
23.162
|
2005
|
62.062
|
||
Palio
Weeken
|
18.997
|
2006
|
69.790
|
||
Fiesta
|
24.586
|
2007
|
73.328
|
||
Corsa
Sedan
|
55.334
|
2008
|
71.855
|
||
Parati
|
18.765
|
2009
|
64.064
|
Fonte:
Folha S.Paulo – Ago-2000 Fonte:
2.3
Produção de cebola 2.4
Matriculas - Fafipa
Brasil – 2008
Por cidade - 2007
Estados
|
Quantidade(t)
|
Cidades
|
Alunos
|
||
São
Paulo
|
383.430
|
Paranavaí
|
580
|
||
R.G.
do Sul
|
252.832
|
Loanda
|
240
|
||
S.
Catarina
|
170.403
|
Colorado
|
125
|
||
Pernambuco
|
81.136
|
N.Esperança
|
260
|
||
M.
Gerais
|
69.034
|
N.Londrina
|
150
|
||
Paraná
|
32.854
|
Primavera
|
108
|
||
Paranacity
|
105
|
Fonte : Dados hipotéticos
2.5
Consumo de Insumo energéticos 2.6 Consumo de borracha na
Indústria de Celulose e Papel – 2007 Indústria – Brasil - 2007
Categoria
|
Percentagem
|
Especificação
|
Consumo
(t)
|
||
Óleo
Combustível
|
33,3
|
Borracha
vegetal
|
71.762
|
||
Outros
derivados
|
5,8
|
Borracha
regenerada
|
18.587
|
||
Madeira
|
51,7
|
Borracha
sintética
|
193.464
|
||
Outras
alternativas
|
9,2
|
Látice
vegetal
|
2.604
|
||
Látice
Sintético
|
7.851
|
CAPÍTULO 4 Sintetizando os Dados quantitativos
4.1
Distribuição de Freqüência
Uma distribuição de freqüência é um
sumário tabular de dados que mostra a
freqüência (ou o número de observações em cada uma das diversas classes não
sobrepostas.
Vamos considerar neste capítulo, em
particular, a forma pela qual podemos descrever os dados estatísticos
resultantes de variáveis quantitativas, como é o caso das notas obtidas pelos
alunos de uma classe, as estaturas de um conjunto de alunos, os salários
recebidos pelos operários de uma fábrica, etc.
Suponhamos termos feito uma coleta
de dados relativos às estaturas de 40 alunos
166
|
160
|
161
|
150
|
162
|
160
|
165
|
167
|
164
|
160
|
162
|
161
|
168
|
163
|
156
|
173
|
160
|
155
|
164
|
168
|
155
|
152
|
163
|
160
|
155
|
155
|
169
|
151
|
170
|
164
|
154
|
161
|
156
|
172
|
153
|
157
|
156
|
158
|
158
|
161
|
A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram
numericamente ordenados, denominamos tabela
primitiva.
A partir dos dados acima, é difícil averiguar em torno
de que valor tendem a concentra-se as estaturas, qual a menor ou qual a maior
estatura ou ainda, quantos alunos se acham abaixo ou acima de uma dada estatura.
Assim, conhecidos os valores de uma variável
formaremos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir dos
dados ordenados.
A maneira mais simples de organizar os dados é através
de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela obtida após a
ordenação dos dados denominamos rol
150
|
154
|
156
|
157
|
160
|
161
|
162
|
164
|
166
|
169
|
151
|
155
|
156
|
158
|
160
|
161
|
162
|
164
|
167
|
170
|
152
|
155
|
156
|
158
|
160
|
161
|
163
|
164
|
168
|
172
|
153
|
155
|
156
|
160
|
160
|
161
|
163
|
165
|
168
|
173
|
Já, agora, podemos saber, com relativa facilidade,
qual a menor estatura (150 cm )
e qual a maior estatura (178
cm ), que a amplitude de variação foi de 173-150 = 23 cm ) e, ainda, a ordem que
um valor particular da variável ocupa no conjunto. Com um exame mais acurado,
vemos que há uma concentração das estaturas em algum valor entre 160 cm e 165 cm e mais ainda que há
poucos valores abaixo de 155
cm e acima de 170 cm .
Vamos colocar os dados em uma distribuição de
freqüência. No exemplo que trabalhamos, a variável em questão, estatura, será
observada e estudada mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em
uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparecem
repetidos.
Ao número de alunos que fica relacionado a um
determinado valor da variável denominamos freqüência.
Obtemos, assim, uma tabela que recebe o
nome de distribuição de freqüência.
Estatura (cm)
|
Freq.
|
Estatura (cm)
|
Freq.
|
Estatura (cm)
|
Freq.
|
||
150
|
1
|
158
|
2
|
167
|
1
|
||
151
|
1
|
160
|
5
|
168
|
2
|
||
152
|
1
|
161
|
4
|
168
|
1
|
||
153
|
1
|
162
|
2
|
170
|
1
|
||
154
|
1
|
163
|
2
|
172
|
1
|
||
155
|
2
|
164
|
3
|
173
|
1
|
||
156
|
3
|
165
|
1
|
Total
|
40
|
||
157
|
1
|
166
|
1
|
O processo dado é, ainda, inconveniente, já que exige
muito espaço, mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho
razoável. Vamos, então, colocar esses dados em uma distribuição de freqüência com intervalo de classe.
Estaturas
(cm)
|
Frequência
|
150
|---- 154
|
4
|
154
|---- 158
|
9
|
158
|---- 162
|
11
|
162
|---- 166
|
8
|
166
|---- 170
|
5
|
170
|---- 174
|
3
|
Total
|
40
|
Ao agruparmos os valores da variável em classe, nos
estamos ganhando em simplicidade, porem perdendo em pormenores. Assim ,
na tabela anterior, podemos verificar, facilmente, que 4 alunos têm estatura 161 cm de altura e que não
existe nenhum aluno com 171
cm de estatura. Já na tabela com classes não podemos ver
algum se algum aluno tem a de 159 cm . Porém, sabemos, com
segurança, que 11 alunos têm estatura
compreendida entre 158
a 162
cm
4.2.
Elementos de uma distribuição de frequência
4.2.1 Classe
: São intervalos de variação da
variável
Na tabela anterior 154 |--- 158, define a segunda
classe. A tabela acima é constituída de 6 classes.
4.2.2
Limites de Classe : São os extremos
de cada classe . Ex. 162 |----166 . Os
limites são 162 (inferior) e 166 (superior).
4.2.3
Amplitude de um intervalo de classe :
ou simplesmente intervalo de classe
é a medida do intervalo que define a classe. Vamos indicar intervalo de classe
pela letra h
h = limite
superior – limite inferior Ls – Li
Ex. 166 |----- 170, h = 170 – 166 = 4
4.2.4
Amplitude total da distribuição (At ) :
é a diferença entre o limite superior da última classe(limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe.(limite inferior máximo).
4.2.5
Amplitude amostral : é a diferença entre o valor máximo e o
valor mínimo da amostra.
At
= xmax – xmin
4.2.6 Ponto médio de uma classe :é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de
classe em duas partes iguais, sendo indicado por xi
Xi
= 
Li ----- limite
inferior Ls-------
limite superior
Li ----- limite
inferior Ls-------
limite superior
4.3 Número de classes
. Intervalos de classe
A primeira
preocupação que temos na construção de uma distribuição de freqüência, é a
determinação do número de classes e. consequentemente, da amplitude e dos
limites dos intervalos de classe.
Para a determinação
do número de classes de uma distribuição podemos utilizar a regra de Sturges, que nos dá o número
de classe em função do número de valores da variável :
K = 1 + 3,3 
log n k---------- número de classes n------- nº total dos dados
log n k---------- número de classes n------- nº total dos dados
Achado o número de
classes que deve ter a distribuição, resta-nos resolver o problema da
determinação da amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos dividindo a
amplitude total pelo número de classes:
h = 
Se o resultado não
for exato, devemos arredondá-lo.
Outro problema que
surge é a escolha dos limites dos intervalos, os quais deverão ser tais que
forneçam, na medida do possível, para pontos médios, números que facilitem os
cálculos – números naturais.
Consideremos, os
dados dos 40 alunos da tabela primitiva
Vamos calcular o nº
de classes : k = 1 + 3,3.log(n) k + 1 +3,3 log (40)
log(40) = 1,6020
k = 1 + 3,3 x 1,6020 k
= 1 + 5,28 k =
6,28 arredondando para número inteiro, k = 6
Vamos agora calcular
o intervalo de classe :
h = At = 173 – 150 At = 23
então h = 
= 3,8 arredondando
para inteiro h = 4
At = 173 – 150 At = 23
então h = = 3,8 arredondando
para inteiro h = 4
4.4 Tipos de freqüências
4.4.1 Frequência simples ou absolutas (f) são os valores que
realmente representam o número de dados de cada classe.
Como vimos
anteriormente, a soma das freqüências simples é igual ao número total dos
dados.
= n
4.4.2 Frequência relativa (fr) : são os valores
das razões entre as freqüências simples e freqüência total.
fr = 
4.4.3 Frequência acumulada (fa) : é o total
das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo
de uma dada classe.
4.4.4 Frequência
acumulada relativa (fra) de uma classe é a freqüência acumulada da classe,
dividida pela freqüência total da distribuição.
EXERCÍCIOS :
1.Considere as notas de 50 alunos:
84
|
68
|
33
|
52
|
47
|
73
|
68
|
61
|
73
|
77
|
74
|
71
|
81
|
91
|
65
|
55
|
57
|
35
|
85
|
88
|
59
|
80
|
41
|
50
|
63
|
65
|
76
|
85
|
73
|
60
|
67
|
41
|
78
|
56
|
94
|
35
|
45
|
55
|
64
|
74
|
65
|
94
|
66
|
48
|
39
|
69
|
89
|
98
|
42
|
54
|
Obtenha
a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe
e 10 para intervalo de classe.
2.Os
resultados do lançamento de um dado 50 vezes, foram os seguintes :
6
|
5
|
2
|
6
|
4
|
3
|
6
|
2
|
6
|
5
|
1
|
6
|
3
|
3
|
5
|
1
|
3
|
6
|
3
|
4
|
5
|
4
|
3
|
1
|
3
|
5
|
4
|
4
|
2
|
6
|
2
|
2
|
5
|
2
|
5
|
1
|
3
|
6
|
5
|
1
|
5
|
6
|
2
|
4
|
6
|
1
|
5
|
2
|
4
|
3
|
Forme
uma distribuição de freqüência sem intervalo de classe.
3.
Idade de 50 funcionários
18
|
20
|
20
|
21
|
22
|
24
|
25
|
25
|
26
|
27
|
29
|
29
|
30
|
30
|
31
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
36
|
37
|
37
|
37
|
37
|
38
|
38
|
38
|
40
|
41
|
43
|
44
|
44
|
45
|
45
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
53
|
54
|
54
|
56
|
58
|
62
|
65
|
Construir
uma distribuição de freqüência e calcule todos os elementos da distribuição.
14
|
12
|
11
|
13
|
14
|
13
|
12
|
14
|
13
|
14
|
11
|
12
|
12
|
14
|
10
|
13
|
15
|
11
|
15
|
13
|
16
|
17
|
14
|
14
|
Forme
uma distribuição de freqüência.
5.
Dada a distribuição de freqüência :
xi
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
f
|
2
|
5
|
12
|
10
|
8
|
3
|
Determine:
a)
As freqüências relativa
b)
As freqüências acumuladas
c)
As freqüências relativas acumuladas.
6.
Complete a tabela abaixo :
Classes
|
f
|
fa
|
fr
|
fra
|
0 |--- 8
|
4
|
|||
8 |--- 16
|
10
|
|||
16 |--- 24
|
14
|
|||
24 |--- 32
|
9
|
|||
32 |--- 40
|
3
|
|||
 |
40
|
6.
Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência;
xi
|
f
|
fa
|
fr
|
|
0
|
1
|
.....
|
0,05
|
|
1
|
....
|
4
|
0,15
|
|
2
|
4
|
.....
|
.....
|
|
3
|
....
|
13
|
0,25
|
|
4
|
3
|
....
|
0,15
|
|
5
|
2
|
18
|
.....
|
|
6
|
.....
|
19
|
.....
|
|
7
|
||||
|
20
|
1,00
|
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